Параллелограмм

Знание свойств параллелограмма однозначно поможет тебе в решении задач по геометрии. Кроме того, параллелограммы очень часто встречаются и в жизни.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

• Какая фигура называется четырехугольником?
• Что такое диагонали четырехугольника?
• Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
• Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
•  Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
• Сформулируйте свойство вертикальных углов.
• Сформулируйте свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых.
• Сформулируйте свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых.
• Сформулируйте признак параллельности прямых.
•  Какая фигура называется треугольником?
• Чему равна сумма углов четырехугольника? 
• Существует ли четырехугольник со сторонами 4 см, 5 см, 9см и 10см?
• Какие вершины четырехугольника называются соседними? 
• Какие вершины четырехугольника называются противолежащими? 
• Какие стороны четырехугольника называются противолежащими? 
• Какие стороны четырехугольника называются  соседними? 

Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

АBCD, О — точка пересечения диагоналей,  

OD=OB и ОА=ОС

                                                AOD= COB

                                     ∆AOD= ∆СОВ

                                    OBC=ODA             внутренними накрест лежащие

                                             AD||BC

Аналогично : АВ||CD

                                             ABCD  -параллелограмм

Доказательство:

ABCD — четырехугольник, точка О — точка пересечения его диагоналей.

1) т.к. AOD= COB (вертикальные), OD=OB (по условию теоремы),

 ОА=ОС (по условию теоремы), то  ∆AOD= ∆СОВ(1 признак)

2) OBC=ODA (соответствующие)

3) OBC иODA внутренние накрест лежащие для прямых AD и ВС и секущей BD,

Из 2) и  3) следует, что AD||BC (по признаку параллельности прямых).

4) Аналогично доказывается : АВ || CD  

Т.к. АВ || CD  и AD||BC, то ABCD  -параллелограмм (по определению)

                                                            Чтд.                        

параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) .

Термин «параллелограмм» согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается некоторые свойства параллелограмма, например: диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке.