Ромб

Собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали решать, кто будет их королем. Долго спорили и никак не могли прийти к единому мнению. И вот один …
Но сказка эта не о ромбе, а о четырехугольнике, еще более совершенном, чем ромб. Смотрите, в чем же состоит совершенство ромба

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Ромб, его свойства и признаки

Ромбом называется параллелограмм,  у которого все стороны равны.

В

В ромбе ABCD:

1) AB||CD, AD||BC (по определению параллелограмма);

А

С      2) AB=BC=CD=DA (по определению ромба);

3) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD (как противоположные углы ромба):

4) О – точка пересечения диагоналей AC и       BD(AC∩ BD=О) и AО= CО, BО=DО

(Диагонали в точке пересечения делятся пополам).

Рассмотрим ∆BAD.

В нём: AB=AD, следовательно, треугольник BAD – равнобедренный и Ð1= Ð2.

Так как BО=ОD, то AО – медиана треугольника ABD, проведённая к основанию BD.

По свойству медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, АО – биссектриса угла А и высота (АО    BD, АС  BD).

Аналогично доказывается, что BD – биссектриса угла B.

Мы доказали два свойства ромба:

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
2. Диагонали ромба перпендикулярны.

Признаки ромба вытекают из его свойств:

1. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм – ромб.
2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

РЕШЕНИЕ

Так как MNKP – ромб, то MN=NK=KP=PM  и Р(MNKP)=4· M N.

M K – диагональ ромба и является биссектрисой его угла М, поэтому Ð M NО =Ð P MО=30°.

Но ∆ N M P – равнобедренный (M N= M P) и тогда

Ð M N P= Ð N P M==60°.

Следовательно, ∆ N M P – равносторонний и M N= M P= N K= P K=5см.

Тогда Р(MNKP)=4·5см=20см.

Ответ:20см.

Для построения ромба используются свойства его диагоналей:

1. Строим две перпендикулярные прямые a и b.
2. О – точка их пересечения
3. На прямой a берём произвольную точку А и откладываем на ней равные отрезки АО и ВО
4. На прямой b берём произвольную точку D и откладываем на ней равные отрезки  DО и  СО.
5. Соединяем последовательно точки А, D, В, С.
6. Получили ромб ADBC

Подведём итоги:

1. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
2. Противоположные углы ромба равны.
3. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.
4. Диагонали ромба перпендикулярны.
5. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
6. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм – ромб.
7. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.